Если в мед.справке стоит один адрес, а в ГАИ я предоставлю другой, будет ли это поводом для отказа?

Укажите старую, как в справке, проверять не будут. А лучше на месте спросите.

А сейчас можно купить медсправку как раньше, не бегая по наркушкам-психушкам?

Я не сталкивалась, но знаю, что поводом для "отказа" это стать не должно. А если вдруг станет, то требуйте начальника и разъясняйте, что права свои знаете, и что про существование прокуратуры тоже знаете. Адрес места проживания - это не те данные, по которым вас идентифицируют как субъекта правоотношений (в данном случае, по крайней мере). А данные о себе стоит указывать актуальные - во избежание различного рода неприятностей (которын следуют за выявлением факта представления заведомо недостоверной информации). Либо - если есть недоделки в софте конкретной конторы - по предварительному согласованию с сотрудниками того органа укажете неактуальные данные. И никак иначе

Я купила в клинике, но в наркологу и психиатору все равно отправили по месту жительства. За день уложилась.

А что, в справке адрес стоит? Никогда не видела. Указывайте все честно, скажете, что переехали, это не запрещено :)