Зарегистрируйте! Это же ваш родной внук и ваша кровь, ваше продолжение. Конечно, зарегистрируйте
А как я их потом выгоню с квартиры если вдруг не сложатся отношения у них? Она с ребенком будет иметь право жить у нас до его 18 летия.