Хороший человек или плохая мама?

Возможно они себя хорошо зарекомендовали. И если мама сделала прописку до мая и они уже заплатили, а тем более зима и у них маленькие дети, то мама поступает по человечески, благородно. Теперь ей можно сказать им, чтобы они до конца мая постарались себе найти квартиру, т. к. Её сын собирается жить в городе и будет некрасиво если он будет скитаться по чужим квартирам, когда есть своя. А вы себе пока тоже подыщите квартиру, устраивайтесть на свою работу, получайте хорошую зарплату. И если вы действительно продержись до мая на своей городской работе и у вас все будет хорошо, тогда вашей маме на душе будет спокойнее. А то вдруг вы начнете работать, да не сможете продержаться на ней и сбежит со своей работы. Тогда маме будет совестно от того что она выставила за дверь порядочную семью с ребёнком, да ещё зимой, которые стабильно ей платили. Новых порядочных жильцов сложно найти. В Библии написано что : «Благоразумный обдумывает каждый шаг» (Притчи 14:15).

Если у них временная регистрация до мая, то они имеют право там жить до окончания срока регистрации. Только через суд можно выписать и выселить или если они сами это сделают и съедут.
Выгонять зимой... Это бред. Не на улицу же люди пойдут. Снимут другую каартиру. Или ваша мама считает, что зимой с детьми под мостом холодно? Квартирантам ее только на улице жить?
Спокойно люди переезжают в любое время года. Даже лучше зимой - понятно, что в новой квартире с отоплением. Стены можно хотя бы потрогать и осмотреть (холодные ли, мокрые ли, нет ли плесени).
Раз мама не хочет вас пускать, рассчитывайте только на себя. Снимайте сами, все равно ж собрались ей платить за съём.