Должна ли я быть знакома с матерью мужа?

А вас кто-то заставляет?

Если вы русская, то незачем, обойдётся.

кому обязана?

Абсолютно не обязана. Тем более они живут в другой стране. Надо сказать, что Вам просто повезло - родня мужа живет далеко и в Вашу жизнь не вмешивается. А вот стоит только раз пообщаться, все, пиши пропало. Начнутся советы, которые Вам совершенно не нужны. Поэтому живите счастливо и без родственников!

Знакомься- не знакомься, а эта родня еще свалится вам на голову. Захотят жить у вас, прописаться, гражданство получить. Вон, в какой-то теме, мамаша лежачая после инсульта поселилась у невестки в студии. Сын ухаживает, вернее работает. А невестка ухаживает, но беременна и не знает что делать.

Нет, вы ничего не обязаны! Кстати, в Белоруссии принято в Доминикану летать, интересно, что и вас туда включили.
Знакомство с белорусской роднёй вас убьёт! Замучают вопросами о ваших богатствах и об отсутствии детей. Просто задолбают!