Как себя повести?

Зачем вам оно надо? Не похоже на приятельские отношения, раз вы в жизни даже не общаетесь. Чего вы сами ждете? Надеетесь на продолжение этих взаимоотношений с мужчиной, который вас избегает, да и к тому же женат?

А зачем вам это общение, если пересылание мемов в интернете и отсутствие живого общения вообще можно называть общением? К чему эта учтивость? Да, работаете вместе, пересекаетесь, но ни словом же не перекидываетесь, он не ваш начальник и ваш успех на работе никак не зависит от него. Потратьте время, которое тратите на ответ ему и поиск мема, на что то более полезное) а коллега пусть мемы жене шлет что ли)

Нет конечно, не надеюсь. Наоборот, мне тоже кажется это чутка ненормальным. Но я думаю, оставить всё как есть, или изменить, то есть начать игнорировать?

Да 5 минут в неделю, а то и в 2, от силы я трачу на ответ ему) С одной стороны, думаю оставить всё как есть (нужно же поддерживать добрые отношения,не хочется,чтобы на меня обиды были какие-нибудь), а с другой, ситуация странноватая, в реале только привет-привет. Начать игнорить его?

Если не хотите обидеть, то можно же прямо поговорить с человеком, узнать зачем и почему он шлет вам мемы, а в жизни только привет-привет.
Но я бы на вашем месте прекратила эти игры, а то кто знает, вдруг жена его увидит что вы там чатитесь и вы еще крайней останетесь и по шее получите, м?)