Могу уйти с универа со справкой вместо диплома, что делать

Всё правильно. Предупредите в ВУЗе, что больны. Потом придёте с комплектом документов в деканат, оформите академический отпуск и защитите диплом в следующем году.
В некоторых ВУЗах дипломы защищают разные потоки в разное время. Поэтому есть шанс защититься с другим потоком.

паника, действительно через год будешь сдавать, получится академ из-за болезни, но о справке об окончании и речи быть не может. Врач правильно говорит, что только при выписке даст больничный, вот и отнесёшь его в деканат и всё проянится для них

А ты хотела без защиты диплом получить? Так не бывает (исключая случаи взяточничества и проституции).

Попросите справку, что вы такая-то и такая-то в настоящеее вемя и до такого-то числа находитесь в такой-то больнице с таким-то диагнозом. И отправьте в деканат.