Могут ли уволить за отказ подписать должностную инструкцию?

Если вы им неугодны вас попросят уйти по собственному. Если не уйдете сами найду к чему предраться. Выговор за опоздание, выговор за косяк любой и т.д. Завалят работой с которой не сможете справиться. Вынудят уйти.

Обратитесь в трудовую инспекцию, спросите, какие обязанности предполагает ваша должность и как решить этот вопрос.
Я несколько раз писала должностные инструкции, и вся информация для них берётся из классификатора должностей и профессий. То есть если я пишу инструкцию на должность химика, то там будет приготовление растворов, соблюдение требований спецификаций, правил работы с приборами, расчёты и ведение журналов, оформление отчетов о проделанной работе. В конце концов, соблюдение порядка на своём рабочем месте. Но вписать туда уборку, например, или транспортировку грузов на склад я не могу, потому что эти обязанности не прописаны в классификаторе.

Это все понятно. Но я не опаздываю. Найти косяк сложно.

Когда выходят новые нормативные документы, инструкции обновляют. Заставлять подписывать инструкцию Вас не будут. Вас по-тихому выдавят из коллектива. Предлог найти нетрудно.