Имею ли я право уйти в отпуск в любое время после 6 месяцев работы?

Если вы работете с сентября, то почему вас не включили в табель отпусков на 2023 год? Его состаляют ДО начала года, в декабре, есть такой закон, иного быть не может.

В каждой организации в начале года составляют сетку отпусков в которую включены все сотрудники - каждый уходит в свое время. Когда будут планировать, обсудите с начальством этот вопрос.

Работодатель может разбить месяц по две недели. Обычно так и делают. Я не встречала такого, чтобы работодатель давал сразу месяц. Как правило, если не идёшь через полгода в отпуск, через год идёшь либо на две недели, либо берешь компенсацию.

Узнайте в отделе кадров график отпусков, скорее всего поставили за вас даты отпусков на этот год. И если вдруг не совпадает с вашими планами, узнавайте , как изменить график отпусков

Вопрос, что вам нужен отпуск в августе, вам нужно обсудить со своим руководством

Статья 122 ТК РФ. Порядок предоставления ежегодных оплачиваемых отпусков.
Почему вас "оформили" в сентябре, если работаете с августа? Какая дата приёма стоит в приказе или в трудовой книжке?

У вас на предприятии должен быть график отпусков. Уточните у администрации.

За ежегодный обязательный компенсации не дают, нельзя. За доп.отпуск (за вредность, ненорм.раб.день и т.д.) может быть компенсация, но это решает работодатель сам.