Могу ли я забрать двоюродного брата из садика?

Конечно да

У нас в начале сезона собирают списки доверенных забиральщиков с их паспортными данными.

В садике и спроси, дура

Нельзя. Это раньше и 10летние могли младших братишек-сестренок забирать, а сейчас только или родители, или совершеннолетние (!) родственники или няни, другие люди, на которых родители написали заявление-доверенность. Даже 17летняя старшая сестра не может забрать. Даже бабушка, если на нее заявление-доверенность у заведующего детсадом не писали. А если что-то экстренное типа "мама попала в больницу, ребенка должна забрать бабушка или старшие братья-сестры" - такие вещи решаются с полицией и опекой (к бабушке, скорее всего, отпустят после проверки этой бабушки данных в отделении, а от несовершеннолетних сиблингов отмахнутся и увезут ребенка в приют до маминой выписки, если папы нет или его еще попробуй найди).