У новорожденного начал гноиться глазик

Если чуть-чуть гноится, то раствором фурацилина, отваром ромашки, крепким чаем можно протирать.
Ещё я примочки делала. Крепкий чай заварю, ваточку намочу, чуть выжму и на закрытый глазик приставлю, полотенчик сверху и рукой придержу, чтобы не смахнул. Ну так, чтобы не плакал, похожу несколько минут.

А если сильно гноится, то в поликлинику идите, пусть ещё и капли глазные окулист назначит.

У малыша коньюктивит, скорее всего. Это часто бывает. Воспаление слизистой оболочки глаза. От вирусов и бактерий бывает.
Протирайте оба глаза, так как от больного глаза может заразится здоровый глаз.

Но может быть и воспаление слёзного канала - дакриоцистит. Это, если помимо гноя, слеза скатывается из глаза без причины (например, малыш улыбается) и от внутреннего уголка глаза отёк(припухлость). Тут протирания и примочки не помогут.

Ещё и мазь глазную может назначить.