Как только я сделаю кувырок, кружится голова и тошнит

Неудобно на потолке спать.
О том, что вам плохо от кувырков, должен первым узнать тренер. Потому что если что, то он отвечает. А вам, возможно, противопоказано кувыркаться. Поэтому надо срочно сказать тренеру. И кстати, к неврологу надо бы зайти

Возможно, что при множестве однообразных повторений само пройдет со временем.

Чем занимаетесь? Отказаться всегда можно, но нужно понимать, что во многих видах спорта это база.
По началу многих укачивает, потом у большинства проходит, вестибулярка тоже тренируется и сосуды.